The Curve of Clavería (COC)

La Historia

Bueno, empecemos con la curva, y para ello haremos un poco de historia. Hace muchos años yo trabajaba en un taller de calderería en el que se fabricaban cuerpos metálicos 3D (tolvas, bifurcaciones, cilindros, conos, prismas, pirámides, etc) partiendo de chapas metálicas planas (sheet metal). Había un cuerpo que me atrajo su atención por su simplicidad y dificultad de desarrollarlo en el plano: EL CONO OBLICUO (when the vertex of a cone is not aligned directly above the center of its base) see figures 1

 

   figure 1. Oblique cone

La Curva

La técnicas habituales para desarrollar el cono oblicuo en el plano se basan en procedimientos gráficos aproximados, tal como nos enseña la geometría descriptiva. En la web

podemos ver un ejemplo de un procedimiento gráfico.       Bien, pero la pregunta que me hice era: si la directriz del cono es una circunferencia de radio r y cortamos el cono por una generatriz desarrollándolo en el plano ¿cual es esa nueva curva? ¡mi curva!, que he llamado Curve of Clavería (COC). Su conocimiento analítico nos permitiría hacer una desarrollo del cono mucho más preciso.

 

 figure 2. Definition de la Curve of Claveria (COC)

Las Propiedades

La forma de la COC ya es conocida por la geometría descriptiva, figura 3, pero ¿cual es su ecuación?

figure 3. Curve of Claveria (COC)

Observando la figura 3 podemos ver las siguientes características de la curva:

1. es simétrica
2. existen dos puntos de inflexión (P, E)
3. existen tres puntos en los cuales el radio vector de la curva es perpendicular a su recta tangente (K, A)

Además, cuando el cono es recto sabemos por geometría elemental que la curva COC es muy sencilla: arco de circunferencia, fig. 4

figure 4. Curve of Claveria (COC). Right cone

La Ecuación

Para determinar la ecuación de la COC tendremos en cuenta que en las superficies desarrollables (conos, cilindros, superficies tangenciales) se conserva constante la longitud de una curva perteneciente a ella cuando la superficie la desarrollamos en el plano, luego ya sabemos la longitud de COC : 2pr

figure 5. Longitud de la COC

Coordenadas polares parametricas

Para seguir avanzando en el conocimiento de la COC determinaremos su radio vector y su ángulo polar. Para esto consideramos como parámetro de la curva el ángulo t:

figure 6. Coordenadas polares parametricas de la COC

1. Radio vector, r(t)

Será la distancia entre el vértice del cono y un punto de su generatriz

                                                                                     (1)

figure 7. Generatriz del cono oblicuo vs radio vector de la COC

2. Angulo polar, q(t)

Consideraremos un trozo pequeño (diferencial) de nuestra curva en 3D y 2D, resultando, ver figura 8

                                                   ds = r dt                                            3D

                                                   ds² = dr² + (rdq)²                             2D   

figure 8. Angulo polar de la COC

luego,

sustituyendo el valor r e integrando,

                                               (2)

desgraciadamente  este integral es elíptica[1] y no se puede resolver en términos de funciones elementales.

Las ecuaciones (1) y (2) constituyen la formulación de COC en coordenadas polares parametricas. En coordenadas parametricas cartesianas tendríamos

                                                                                                         (3)

                                                                                                           (4)

figure 9. Coordenadas cartesianas parametricas de la COC

Ecuación intrínseca

Las ecuaciones (1) y (2) resuelven el problema planteado, pero matemáticamente no terminan de ser “bonitas” al tener que depender de una integral “no integrable”. Otra alternativa  para formular la ecuación de la COC seria definirla independientemente de una sistema de coordenadas: su ecuación intrínseca. En esta formulación relacionaremos la curvatura (k) en un punto de la curva y la longitud de la curva (s): k = k(s)

figure 10. Definición de la ecuación intrínseca de la COC

siendo

The curvature of a curve given by a polar equation r = r(q) is

                                                                                           (5)

como en nuestro caso r = r(t) y q = q(t) tendremos

                                                                               (6)

y sustituyendo las ecuaciones (1) y (2) en (6) y teniendo en cuenta que s = r t tendremos

                 ¡Conseguido! It’s beautiful for me

s = 0 to 2 p r                  t = 0 to 2 p

curvatura mínima y máxima:

k_min = k(0) = k(2pr) =                       k_max = k(pr) =

curvatura nula (punto de inflexión):

El valor curvatura nula se definirá para el valor de t que cumple k(t)= 0, resulta

                                     k(t_0,min) = 0                                                                  

y por simetría

                                         k(t_0,max) = 0

El radio de curvatura

es la función inversa de la curvatura:

                                                                

radio de curvatura mínimo y máximo:

r_c,min = k(0) = k(2pr) =                       r_c,max = k(p r) =

radio de curvatura infinito (punto de inflexión):

El valor curvatura infinito se definirá para el valor de t que cumple k(t)= 0, resulta

                                     k(t_0,min) = 0                                                                  

y por simetría

                                         k(t_0,max) = 0

 The Curve of Clavería (COC)